Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Untuk Menentukan Irisan Dari Dua atau Lebih Himpunan
Oleh
Inuk Hidayati
STKIP SIDOARJO
Abstrak
Dalam
jurnal ini membahas tentang operasi himpunan dan sifat-sifatnya untuk
menentukan suatu irisan dari dua atau lebih himpunan. Operasi himpunan itu meliputi beberapa macam.
Berdasarkan definisi dari operasi himpunan-operasi himpunan maka diberlakukan
sifat-sifatnya. Karena himpunan adalah kumpulan obyek yang memunyai syarat
tertentu dan jelas. Obyek-obyek dalam
kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda abstrak. Obyek-obyek ini disebut anggota atau elemen
dari himpunan itu. Syarat tertentu dan
jelas dalam menentukan himpunan itu kita dapat membedakan obyek yang merupakan
anggota himpunan dan yang bukan anggota himpunan. Maka operasi himpunan dan sifat-sifatnya untuk
menentukan irisan dari dua atau lebih himpunan akan dibahas.
Kata kunci
: Operasi himpunan dan sifat-sifatnya untuk menentukan irisan dari dua atau
lebih himpunan
Pendahuluan
Sejarah
teori himpunan, pertama kali ditemukan oleh George Cantor pada akhir abad 19.
Georg Cantor (1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan
Yahudi. Nama lengkapnya adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Lahir di
St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di alle Jerman 6 Januari 1918
tepatnya pada usia 73 tahun. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertama kali cabang matematika ini dan
enjadikan teori himpunan menjadi teori fundamental dalam matematika. Begitu
pula metode yang digunakan olehnya dalam membuktikan keberadaan suatu himpunan
tak hingga. Beliau memberikan suatu contoh tentang berbagai himpunan bagian
dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar yaitu himpunan Cantor.
Himpunan
merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika bahkan sudah diperkenalkan
dalam pendidikan matematika pada saat sekolah dasar. Himpunan adalah kumpulan
obyek yang berbeda yang memunyai syarat dan ketentuan yang sama. Obyek tersebut
dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Obyek-obyek
ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Syarat-syarat yang jelas dalam menentukan
anggota suatu himpunan ini sangat penting karena akan membedakan mana yang
menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Dalam matematika, himpunan adalah koleksi
benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.
PEMBAHASAN
A.
Memahami
Pengertian dan Notasi Himpunan
1. Pengertian
Himpunan
Dra.Theresia M.H (1989)
menyatakan bahwa secara intuitif, pengertian himpunan adalah kumpulan obyek
yang memunyai syarat tertentu dan jelas (kumpulan itu dapat berupa daftar,
koleksi, kelas dan lain-lain). Obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda
konkrit atau benda abstrak. Teori
himpunan memunyai peranan penting dalam kehidupan. Menurut Sukardi Husen (2013)
himpunan adalah kata kelompok, persatuan, ikatan,
dan kumpulan memunyai arti yang sama, suatu kumpulan benda dapat dikatakan
himpunan jika benda atau objek yang termasuk dalam kumpulan itu diterangkan
dengan jelas.
2. Notasi
Himpunan
Himpunan ini biasanya
dinyatakan dengan huruf besar seperti; A, B, C, K, X,... dan sebagainya. Sedang anggota suatu himpunan dinyatakan
dengan huruf kecil a, b, c, k, x... dan sebagainya. Menurut T. Taufik (2013)Pelajaran
matematika yang dipelajari di tingkat sekolah menengah pertama memunyai
beberapa bagian. Himpunan merupakan bagian yang materinya sulit dipahami siswa.
Operasi yang digunakannya berbeda dengan operasi pada bilangan yang biasa digunakan
sejak dari kelas I sekolah dasar. Penulisan himpunan dengan menggunakan notasi
pembentuk.
Ada tiga cara
untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu:
a. Dengan
mendaftar anggota-anggotanya
Contoh :
S adalah
himpunan warna lampu lalu lintas S =
{merah, kuning, hijau}
T adalah
himpunan huruf pembentuk kata “matematika”
b. Dengan
menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi anggota-anggotanya.
Contoh :
P = himpunan vokal dalam abjad latin.
Q = himpunan bilangan cacah ganjil yang kurang
dari 10.
c. Dengan
menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh :
Himpunan L adalah
himpunan-himpunan bilangan bulat antara 1 dan 7. Ditulis menjadi : L={xI-1<
x < 7, x bilangan bulat}
Himpunan M adalah
himpunan bilangan prima kurang dari 23. Ditulis menjadi : M = {y I y < 23, y
bilangan prima.
B.
Memahami
Konsep Himpunan Bagian
1. Himpunan
Kosong
Himpunan kosong adalah
suatu himpunan yang tidak memunyai anggota. Biasanya dinyatakan dengan notasi Ø
atau { }.
Contoh : Jika R = {x | x
< 1, x € C} maka R = {0} atau n(R) = 1. Himpunan R disebut
himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan
himpunan kosong
2. Himpunan
Semesta
Himpunan semesta adalah
suatu himpunan yang memunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan.
Himpunan ini dinyatakan dengan notasi S atau U (S singkatan dari semesta dan U
singkatan dari universil).
Untuk memahami
pengertian himpunan semesta perhatikan contoh berikut ini:
S = { Murid-murid di sekolah }
A
= { Murid-murid di kelas }
Ternyata himpunan S memuat semua
anggota himpunan A, sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan
A.
3. Himpunan
Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga (Infinit)
Suatu himpunan
dikatakan berhingga (finit) jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen
berbeda yang banyaknya tertentu (berhingga). Sedang himpunan tak berhingga
(infinit)adalah himpunan yang tidak finit.
Contoh :
H = {a, m, s, t} dan C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
D = {10, 1, 2, 3} dan B = {..., -2, -1,
0, 1, 2, ...}
Anggota
himpunan H dan C dapat disebut seluruhnya hingga berakhir. Himpunan semacam itu
disebut himpunan berhingga. Banyak anggota himpunan H ditulis dangan lambang n
(H) sedangkan anggota himpunan D dan B tidak berakhir. Himpunan ini disebut
himpunan tak berhingga.
4. Diagram
Venn
Leonhard Euler (1707 – 1783)
pertama kali mengembangkan ide diagram yang menggunakan lingkaran untuk
mewakili himpunan. Diagramnya disebut diagram Euler. Beliau kemudian
mengembangkan lebih lanjut sehingga tercipta diagram seperti yang kita pakai
saat ini. Menurut Dra. Theresia M.H (1989), bahwa Diagram venn Euler adalah suatu
cara yang sederhana dan mudah untuk menggambarkan relasi antara dua himpunan,
yang biasa disebut diagram venn. Daerah dalam kurva tertutup pada diagram ini
mewakili obyek-obyek atau anggota-anggota himpunan. Biasanya untuk menyatakan
himpunan semesta digunakan bentuk persegi panjang seperti dibawah ini:
Gbr B.4
|
A C B A = B
Keterangan Gbr B.4:
A С B adalah himpunan A bagian dari
himpunan B
A = B adalah himpunan A sama dengan
himpunan B
C.
Memahami
Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
1. Irisan
a.
Pengertian irisan
Untuk memahami irisan himpunan, sebagai contoh yaitu:
A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4}
Pada himpunan A dan B,
himpunan A yang juga merupakan anggota B, yaitu 2 dan 3. Dikatakan irisan
himpunan A dan B = {2, 3}. Untuk selanjutnya kata irisan diganti dengan
menggunakan simbol {∩}.
Irisan dari himpunan A
dan B, terdapat anggota himpunan A yang menjadi anggota B. Ditulis dengan
notasi pembentuk himpunan A ∩ B = {x I x Є A dan x Є B}.
b. Menentukan irisan
Menentukan irisan
dengan dua himpunan sama artinya dengan mencari anggota persekutuan dari dua
himpunan tersebut.
Ditentukan : E = {y I y ≤ 11, y bilangan prima}
F = {z I 2 < z < 8, z bilangan ganjil}
·
Nyatakan himpunan E dan F dengan mendaftar aggota-anggotanya!
·
Tentukan E ∩ F.
Jawab : E = {2, 3, 5,
7, 11} dan F = {3, 5, 7}
E ∩ F = {3, 5, 7}
|
2. Gabungan
Untuk memahami pengertian gabungan sebagai contoh yaitu:
A
= {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}. Himpunan yang anggotanya terdapat pada A dan B,
yaitu {1, 2, 3, 4, 5} disebut gabungan dari himpunan A dan B. Utuk selanjutnya
kata gabungan diganti dengan menggunaka simbol {U}, maka himpunan A U B.
3. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan
A (ditulisA’ atau A ͨ ) adalah himpunan anggota-anggota di dalam semesta
pembicraan yang bukan anggota A.
Komplemen
himpunan A dapat juga didefinisikan sebagai :A’={x/x ϵ s,x ϵ A}
Contoh : Di Semesta
Pembicaraan S = {k,e,l,u,a,r,g,a} dan K = {huruf vokal}, maka K ͨ = {k,l,r,g}.
4. Selisih
Dua Himpunan (Difference)
Selisih dua himpunan A
dan B sama dengan irisan A dan himpunan B’:A – B=A∩B’. Selisih dua himpunan A
dan B dapat didefinisikan sebagai:
A – B = { x/x ϵ
A, x ϵ B} = {x/x ϵ A, x ϵ B’} = A ∩ B’.
Contoh : Jika P
= { 1,2,3,4,} dan Q = {1,5,3,6,7} maka P – Q = {1,3}
5. Jumlah
Dua Himpunan (Symmetry Difference)
Jumlah dua himpunan A
dan B (ditulis A + B) adalah himpunan anggota-anggota A atau B tetapi bukan
anggota persekutuan dari himpunan A dan B.
Definisi A
jumlahan B dabat ditulis sebagai :A+B= {x/x ϵ (AUB),
x ϵ (A∩B)}
Contoh : Jika W
= { c,a,n,t,i,k } dan V = {t,i,k,a,r} maka M + N = {c,n}
6. Sifat-sifat
Operasi Himpunan
Berdasarkan pendapat dari (Setiadji, 2009) bahwa definisi-definisi
dari operasi himpunan di atas, maka diberlakukan sifat-sifat di bawah ini :
a. Komutatif,
yaitu A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
b. Assosiatif,
yaitu ( A U B ) U C = A U ( B U C )
( A ∩ B ) ∩ C
= A ∩ ( B ∩ C )
c. Idempoten,
yaitu A U A = A dan A ∩ A = A
d. Identitas,
yaitu A U U = U; A U Ø= A
A ∩ U = A; A ∩ Ø = Ø
e. Distributif,
yaitu A U ( B ∩ C ) = (A U B) ∩ (A U C )
A ∩ (B U
C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C)
f. Komplementer
,yaitu A U A’ = U dan A ∩ A’ = Ø
g. De
Morgan, yaitu ( A U B
)’ = A’ ∩ B’ dan ( A ∩ B )’ = A’ U B’
h. Penyerapan,
yaitu A U ( A ∩ B ) = A dan A ∩ ( A U
B ) = A
PENUTUP
Pada
Akhir-akhir ini, teori himpunan mendapatkan perhatian khusus dalam pengajaran
matematika, karena setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk di
dalam teori himpunan. Cabang matematika
yang berbeda-beda berkembang menjadi satu kesatuan dalam teori himpunan. Dari definisi,
bagian, konsep, operasi, dan sifat-sifat suatu himpunan, saya
menyimpulkan bahwa suatu himpunan yang memunyai kumpulan benda-benda konkret
atau abstrak.
Dalam
pembelajaran matematika hendaknya memberikan kesempatan yang luas kepada siswa
untuk terlibat aktif sehingga konsep materi yang dipelajari benar-benar
tertanam dan mereka kuasai dengan baik. Pemahaman konsep matematika bagi siswa
diperlukan agar mereka tidak hanya dapat menjawab soal-soal rutin dan
prosedural saja, akan tetapi siswa mengaplikasikan pengetahuan yang dimilikinya
untuk memecahkan masalah matematika yang berhubungan dengan kehidupan
sehari-hari. Jadi dapat dikatakan bahwa pemahaman konsep merupakan bagian yang
paling penting dalam pembelajaran matematika.
Untuk
mencapai pemahaman konsep matematika oleh siswa, bukan suatu hal yang mudah
karena pemahaman siswa terhadap suatu konsep matematika bersifat individual.
Setiap siswa mempunyai kemampuan yang berbeda dalam pemahaman konsep-konsep
matematika. Dalam upaya meningkatkan pemahaman dan hasil belajar siswa terutama
pada pelajaran matematika khususnya pada materi himpunan maka dibutuhkan suatu
pembelajaran yang menyenangkan, mengajak siswa berinteraksi langsung dengan
kehidupan nyata sehingga siswa aktif, kreatif dan akan meningkatkan hasil
belajar siswa yang diinginkan.
DAFTAR
PUSTAKA
Sumber
Buku :
·
Theresia
dan Tirta, Seputro. 1989; PENGANTAR DASAR MATEMATIKA (LOGIKA DAN TEORI HIMPUNAN).
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi, Proyek Pengembangan Lembaga
Pendidikan Tenaga Kependidikan, Jakarta
Sumber Internet :
·
https://serdaducemara.wordpress.com/.../efektifitas-penggunaan-model-pembelajaran- partisipatif.//html. 2013 – oleh Sukardi Husen diakses 1
pebruari 2015
·
T.
Taufik 2014. journal.um.ac.id/index.php/jps/article/viewPDFInterstitial/4190/845,
diakses 1 Pebruari 2015
|
